印度冷知識-拉馬努金,來自印度的數學奇蹟

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印度冷知識-拉馬努金,來自印度的數學奇蹟
印度數學家拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)。圖片來源/Wikimedia Commons
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不知從什麼時候開始,大家都說印度人數學很好、特別聰明。這種謠傳與事實數據、與文化、也與民俗性有關。在文化特性的層面,有人說因為印度人特別愛講話,而在這樣的長期習慣之下,他們大腦中管控語言的部分運轉的就如電腦一樣快,組織能力、邏輯也因此有較好的發展;也有人說,那只不過是因為印度的生意人總是斤斤計較,於是在精打細算之間,營造了精明透頂的形象。

不過,在科技產業中、在數學研究的領域裡,來自印度的菁英們確實不斷證明這個民族的驚人數學實力,其中一個動人的故事,發生在一次世界大戰背景中,如同天書一般的數學公式,連結了身處印度與美國兩地的數學家,他們所激盪出的火花,至今都深深地影響著這個世界。

這故事從1913年,三一學院(Trinity College, Cambridge)院士哈代(G.H.Hardy)所收到的一封信開始。這封信中,寫滿了數學公式,如同古代天書的形式,充滿似有意義的符號卻缺乏證明,有待觀者的破解。但哈代隨後發現,這些數學式背後的驚人天賦,並決定幫助這位來信的印度數學家。當時這位數學奇才的名字還未被世界所知,其秘密的天才僅存在他、他在印度的一位支持者與家人之間。

印度冷知識-拉馬努金,來自印度的數學奇蹟
英國數學家戈弗雷·哈羅德·哈代(Godfrey Harold Hardy)。圖片來源/Wikimedia Commons

這位來信者就是偉大的印度數學家拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)。在短暫的一生中,他從未受過高等專業數學訓練,憑著任何能得到的數學教材,他建立了跳躍式的直覺思考,在缺乏一些函數的基本知識下,寫下無數個深奧的數學公式。我們可以想像這位數學家特殊的學習過程,就像是他在這些教材中「認出」了規則,即使不曾學過某些定理,卻自己觀察出解碼的鑰匙,於是任何數字在他眼中都不再只是數字,而是具有意義的符號。

通過哈代的推薦,拉馬努金在三一學院做研究並成了榮譽院士,在這裡他與哈代和其他數學家合作,共同研究、發現與證明了許多新的數學定理。他所提出的許多函數與公式,在當時無法、或沒有被他證明,卻被之後的數學家研究、發展或證明。最離奇的一個例子是他死前提出的「拉馬努金θ函數」。這個拉瑪努金以直覺提出的、數學式子中的特殊質,即奇點,看似沒有任何道理,但在日裔數學家小野(Ken Ono)研究下,獲得更完整的解釋,並被科學加應用在研究黑洞的「熵」。離奇之處就在於,拉努瑪金宣稱他是在夢中獲得這項發現的靈感,而在當時人們根本還未開始研究黑洞。

拉馬努金θ函數。圖片來源/Wikipedia

拉馬努金在英國的生活,最近被改編成傳記電影《天才無限家》The man who knew Infinity(2015),主要根據美國傳記作家卡尼格爾(R. Kanigel)所寫的同名傳記拍攝,情節詳述了他與哈代的友誼和合作,也包括少為人知的生活軼事,由傑瑞米·艾朗(Jeremy Irons)與《貧民百萬富翁》男星戴夫·帕托(Dev Patel)主演,使這位傳奇數學家,第一次與大眾如此接近。

從拉馬努金在數學領域與人類歷史的成就上,其實體現了一個數學的根本問題,即數學究竟是一種人類的「發明」還是「發現」?即使受到哈代的無神論之影響,但據說拉馬努金一直都努力維持著他的印度種姓婆羅門(Brahman)的生活方式,而他將自己的一切成就,都歸功給他的家族女神納瑪姬莉(Namagiri),聲稱自己不過是使出現在意識中的靈感有了具象化的表現,彷彿他在神的領域裡得到了諭示,而他總是習慣不加以證明地提出數學式子,似乎也體現了這個傾向。於是數學在拉馬努金的世界裡,是「發現」而不再是發明,具有形上意義與內容來源。

數學發現時常能夠為實際的世界、為其他實用領域帶來貢獻,但純數學領域的研究者,要不認為數學是人類的偉大發明;要不就認為他們是在發現隱藏在密碼中的完美形式,而其成就偉大與否與在現實中的應用,反而不是最相關的。有趣的是,從拉馬努金的筆記與他的傳記看來,他幾乎是以接收「神諭」的方式,寫下上百條數學敘述,他曾說:「一個式子對我來說有意義,那是因為它代表了神的一個想法。」

不論數學的本質到底是什麼,是「展現」還是「解釋」了世界,拉努馬金的故事的確向是人展現了數學十分浪漫而神性的面向。

拉馬努金出生在英國管轄之下的印度,當時印度與孟加拉、巴基斯坦和緬甸同為英國的殖民統治區,雖然印度自治政府已經成立,但在複雜的宗教、種族問題與戰爭的陰影下,人們的生活依然處在很大的變動中。在被哈代發掘後,拉馬努金在英國度過將近七年的時間,一戰剛結束不久後,因戰時糧食缺乏營養而罹患當時無法確診的重病,拉馬努金因而決定返鄉休息養病,原本預期會獲得好轉並繼續在英國進行他的研究,但不久後,就在妻子的陪伴中逝世。在病榻上,拉馬努金依舊沒有中斷研究,他留下的無數筆記並沒有隨他一起埋葬,這些知識寶藏直到今日,都持續在數學領域中激發著研究者的靈感與精神。

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